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Description du cours
Méthodes Mathématiques I (fichier pdf)
L’objectif du cours Méthodes Mathématiques est de présenter un certain nombre de méthodes mathématiques nécessaires à une bonne formation en physique et en chimie. Il ne s’agit pas de « recettes » à appliquer aveuglément, mais d’outils mathématiques dont il importe de bien maîtriser le maniement.
La première partie du cours est consacrée à la théorie des fonctions holomorphes. L’approche de Cauchy – qui repose sur la notion d’intégrale le long d’un chemin dans le plan complexe – est très féconde et conduit en particulier à la méthode des résidus et à ses diverses applications.
La deuxième partie du cours présente tout d’abord les rudiments de la théorie de l’intégration de Lebesgue, puis expose en détail les notions importantes de produit de convolution, de transformation de Fourier et de transformation de Laplace.
La dernière partie du cours est consacrée à la théorie des distributions conçue par Laurent Schwartz vers 1944. Cette théorie est devenue un outil essentiel dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique (citons, à titre d’exemple, la théorie des équations aux dérivées partielles étudiée dans le cours de deuxième année)
Fonctions holomorphes
- Dérivée d’une fonction d’une variable complexe
- Définition et propriétés
- Intégration dans le plan complexe
- Théorème des résidus et applications
Complément sur l’intégration et transformations intégrales
- Notion de mesure et intégration de Lebesgue
- Produit de convolution
- Transformation de Fourier
- Transformation de Laplace
Distributions
- Définitions et propriétés générales
- Dérivation
- Produit de convolution
- Transformation de Fourier
Méthodes Mathématiques II (fichier pdf)
Ce cours fait suite au cours Méthode Mathématiques de première année. La première partie du cours est consacrée à la théorie des probabilités. Après l’introduction des notions et des théorèmes fondamentaux, nous traiterons des lois de répartition de variables aléatoires ainsi que des théorèmes limites (loi des grands nombres, théorème central limite).
La deuxième partie du cours est consacrée aux calculs des variations. Le problème central consiste à trouver la fonction y(x) qui minimise une fonctionnelle I[y(x)] donnée. Nous verrons comment ce problème conduit naturellement aux équations différentielles d’Euler-Lagrange. La mécanique classique nous fournira un grand nombre d’exemples (principe variationnel d’Hamilton, film de savon tendu entre deux anneaux etc.).
La dernière partie du cours porte sur les équations aux dérivées partielles. Nous limiterons notre attention à un petit nombre d’équations aux dérivées partielles que l’on rencontre fréquemment en physique. Diverses méthodes de résolutions (permettant d’obtenir des solutions satisfaisant à des conditions aux limites et à des conditions initiales données) seront présentées. Enfin, la notion de fonctions de Green (qui fait suite au cours de première année sur les distributions) sera introduite.
Probabilités
- Notions et théorèmes fondamentaux
- Variables aléatoires et lois de répartition
- Suites de variables aléatoires, théorèmes limites
Calculs des variations
- Dérivée fonctionnelle
- Équations d’Euler-Lagrange
Équations aux dérivées partielles
- Exemples et classification
- Méthodes de résolutions
- Utilisation de transformations intégrales
- Fonctions de Green