Résumé :
Les systèmes chaotiques sont caractérisés par une séparation exponentielle des paires de particules. C’est en outre cette propriété qui rend ces systèmes imprédictibles sur une fenêtre de temps infinie. Pour autant, il est certain que ce phénomène n’est pas à l’origine du caractère aléatoire de la turbulence. On observe en effet que les paires de particules en expérience se séparent de manière algébrique, suivant une loi cubique indépendante de la séparation initiale. Ce régime, dit de Richardson, suggère que la stochasticité devrait arriver en un temps fini, contrairement à ce qui est observé dans le chaos. Ce phénomène est intitulé « stochasticité spontanée » et tient sa source du caractère irrégulier de la dynamique sous-jacente. C’est en tout cas un candidat théorique qui pourrait expliquer la nature aléatoire de la turbulence elle-même. Alors que la stochasticité spontanée est bien formalisée dans des modèles simplifiés, il n’existe pas à ce jour de procédure ou d’outils précis qui pourraient quantifier efficacement ce phénomène.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à un écoulement 3d irrégulier, inspiré de la fonction de Weierstrass, intitulé « modèle WABC ». On montre que des trajectoires lagrangienne possèdent une dispersion en temps finie même dans la limite de dispersion initiale infinitésimale. Cette observation directe de la stochasticité spontanée est néanmoins impossible à mettre en place dans les écoulements réels à cause des contraintes numériques ou expérimentales. Inspiré de notre modèle, nous proposons un critère basé sur les probabilités de transition pour mesurer en pratique la stochasticité spontanée dans les écoulements réels. On vérifie dans un premier temps si ce critère est bien sensible à ce phénomène dans le modèle WABC. On l’applique enfin à des données expérimentales où des résultats préliminaires mettent en évidence des traces de stochasticité spontanée.
Mots-clés :
From irregular flow to experiments: a path to measuring spontaneous stochasticity
Abstract:
Chaotic systems are characterised by exponential separation between close-by trajectories, which in particular leads to deterministic unpredictability over an infinite time-window. It is now believed, that such butterfly effect is not fully relevant to account for the type of randomness observed in turbulence. For example, tracers in homogeneous isotropic flows are observed to separate algebraically, following a universal cubic growth, independent from the initial separation. This regime, known as Richardon’s regime, suggests that at the level of trajectories, and unlike in chaos theory, randomness may in fact emerge in finite-time. This phenomenon called ‘spontaneous stochasticity’ originates from the singular nature of the underlying dynamics, and provides a candidate framework for turbulent randomness and transport. While spontaneous stochasticity has been mathematically formalised in simplified turbulence models , a precise and systematic tool for quantifying the various facets of this phenomenon is to this day missing.
We introduce in this thesis a 3d rough flow inspired by the Weierstrass function, entitled ‘the WABC model’. We show that Lagrangian trajectories in this model have a finite-time dispersion, even in the limit of infinitesimal initial dispersion. This direct observation of spontaneous stochasticity is impossible to perform in real flows due to numerical or experimental constraints. To circumvent this technical issue, we adapt the definition of spontaneous stochasticity in our model to create a criterion based on transition probabilities. We show that this criterion is more suited for the analysis of real flows. We verify its sensibility to spontaneous stochasticity in the WABC model. This criterion is then applied on experimental data, where preliminary results tend to highlight traces of spontaneous stochasticity.
Keywords: