Comment prévoir la répartition d’ondes qui se propagent dans un milieu irrégulier ou traversé par un écoulement ? Des chercheurs du SPHYNX au SPEC (UMR CEA–CNRS) proposent une nouvelle approche fondée sur la mécanique statistique à l’équilibre. En reliant conservation de l’action des ondes, conservation de leur fréquence absolue et une hypothèse d’ergodicité, ils établissent un cadre permettant de prédire directement les propriétés statistiques spatiales d’un champ d’ondes, sans avoir à suivre individuellement un grand nombre de trajectoires. Validée numériquement pour plusieurs systèmes d’ondes de surface, cette approche propose ainsi un principe général pour décrire l’organisation statistique des ondes dans des milieux inhomogènes ou en mouvement.
Des vagues océaniques aux ondes internes de l’atmosphère, la propagation d’une onde peut être profondément modifiée par le milieu qu’elle traverse. Un courant peut la dévier, tandis que des variations de profondeur ou d’autres inhomogénéités peuvent modifier localement sa propagation. Lorsque la longueur d’onde est petite devant l’échelle des variations du milieu, ces phénomènes sont généralement décrits par le tracé de rayons, une approche analogue à l’optique géométrique qui permet de suivre la trajectoire de paquets d’ondes. Mais lorsqu’il s’agit non plus de suivre une onde particulière, mais de prédire les propriétés statistiques d’un ensemble d’ondes, il faut simuler un grand nombre de trajectoires. Le calcul devient alors coûteux et ne fait pas apparaître de principe général permettant de comprendre l’organisation globale du champ d’ondes.
Pour dépasser ce verrou, les chercheurs transposent aux ondes un outil classique de la physique statistique : l’ensemble microcanonique, dans une version généralisée adaptée à un système d’ondes linéaires. Dans un milieu stationnaire dont les propriétés varient lentement à l’échelle de la longueur d’onde, chaque paquet d’ondes conserve son action ainsi que sa fréquence absolue, c’est-à-dire la fréquence mesurée dans un référentiel fixe. Son évolution peut alors être décrite dans un espace des phases regroupant position et vecteur d’onde. Lorsque cette dynamique conduit à un mouvement suffisamment chaotique, l’hypothèse ergodique revient à considérer que, sur des temps longs, l’action des ondes se répartit de manière homogène entre tous les états accessibles à une fréquence donnée. Cette prescription permet alors de calculer le spectre local des ondes et d’en déduire différentes grandeurs statistiques.
A gauche : carte de la bathymétrie locale, représentée par la hauteur d’eau H(x) de valeur moyenne H₀. A droite : trois cartes d’élévation de surface η(x), normalisée par sa valeur maximale initiale η₀. Le paquet d’onde, initialement localisé à gauche du domaine, se propage vers la droite, est défléchi par la topographie à temps court, puis s’étale sur l’ensemble du domaine jusqu’à atteindre un régime statistiquement stationnaire.
Les chercheurs appliquent d’abord cette approche à des ondes de gravité en eau peu profonde. Deux situations sont étudiées : une profondeur variable sans écoulement, puis une profondeur uniforme en présence d’un courant spatialement inhomogène. À partir de leur modèle statistique, ils prédisent la distribution spatiale des fluctuations de hauteur de la surface et de sa pente. Ces prédictions sont ensuite comparées à des simulations numériques dans lesquelles un paquet d’ondes se propage, est diffusé par les variations du milieu puis atteint progressivement un régime statistiquement stationnaire. Les cartes obtenues par la théorie reproduisent étroitement celles issues des simulations, aussi bien pour les variations de profondeur que pour l’écoulement de fond.
Pour tester la portée de ce cadre au-delà de ce premier cas, les chercheurs l’appliquent ensuite à des ondes capillaires en eau profonde, dont la relation de dispersion diffère de celle des ondes de gravité. Ils considèrent cette fois des ondes courtes se propageant au-dessus d’un écoulement de grande échelle et établissent, à partir du même principe microcanonique, les distributions spatiales attendues des fluctuations de hauteur et de pente de l’interface. Là encore, les simulations numériques reproduisent avec précision les structures prédites par la théorie. L’accord obtenu pour ces différents systèmes montre ainsi que l’approche peut s’appliquer à des ondes présentant des propriétés de propagation différentes.
A gauche : prédiction théorique. A droite : résultat numérique. Dans les deux cas, la carte de couleur représente ≺η²≻(x) (en unité arbitraire) et les contours noirs représentent les lignes de niveau bathymétriques. La prédiction est en très bon accord avec l’observation numérique, sans aucun paramètre d’ajustement.
Au-delà de la précision des prédictions obtenues pour les systèmes étudiés, ce travail apporte un cadre conceptuel commun pour décrire les statistiques d’ondes courtes se propageant dans des milieux stationnaires, inhomogènes ou en mouvement. Par rapport aux approches statistiques existantes pour les milieux inhomogènes, il présente notamment l’intérêt de pouvoir prédire les statistiques du champ d’ondes pour une configuration donnée du milieu, sans nécessiter une moyenne sur de multiples réalisations de celui-ci. Cette avancée pourrait être particulièrement pertinente en géophysique, par exemple pour étudier des ondes évoluant dans des courants océaniques dont la dynamique est beaucoup plus lente que celle des ondes. Plus largement, en établissant un pont entre physique des ondes et mécanique statistique d’équilibre, ces travaux ouvrent une nouvelle manière d’aborder l’organisation statistique de systèmes ondulatoires complexes. Le cadre reste aujourd’hui limité aux ondes linéaires : l’intégration des interactions entre ondes et de leur rétroaction sur l’écoulement constitue une perspective naturelle pour étendre cette approche à des situations plus complexes et plus réalistes.
Référence
Equilibrium Statistical Mechanics of Waves in Inhomogeneous Moving Media.
Alexandre Tlili, Basile Gallet. Phys. Rev. Lett. 136, 244001 (2026).
Contact
- Basile Gallet et Alexandre Tlili, chercheurs au SPHYNX au SPEC.