Résumé :
Nous étudions les propriétés statistiques de la dispersion Lagrangienne dans des champs de vitesse aléatoires de type turbulent, en particulier rugueux en espace, en mettant l’accent sur l’interaction entre l’intermittence à petite échelle et le transport des particules. En nous appuyant sur le modèle classique de Kraichnan, nous introduisons une extension intermittente (multifractale) où le champ de vitesse reste blanc en temps et rugueux en espace, mais présente une intermittence spatiale, modélisée à l’aide de la théorie du chaos multiplicatif Gaussien. Cette construction fournit un cadre probabiliste permettant de prendre en compte les fluctuations intermittentes observées dans les écoulements turbulents, dans l’esprit du modèle de Kolmogorov-Obukhov de 1962 pour la dissipation d’énergie.
Nous concentrons notre analyse sur l’impact de l’intermittence sur les différentes phases de l’écoulement Lagrangien en dimension un. La signature de l’intermittence dans le transport des particules est d’abord étudiée numériquement, puis complétée par une analyse théorique reposant sur des outils issus de la théorie des processus de Feller unidimensionnels. Nos résultats indiquent que l’intermittence a un effet régularisant sur la dispersion des particules, avec des transitions de phase gouvernées par l’exposant de Hölder le plus probable du champ de vitesse, qui caractérise les fluctuations typiques de vitesse dans le formalisme multifractal de Parisi-Frisch. Nous montrons que les particules ont tendance à passer la majeure partie du temps dans des régions de l’espace présentant des fluctuations typiques, ce qui explique la pertinence de l’exposant de Hölder le plus probable.
En outre, nous établissons des liens formels entre notre modèle multifractal de Kraichnan et le mouvement Brownien de Liouville – le processus de diffusion canonique en gravité quantique de Liouville. Bien que ces connexions soient purement formelles, nous pensons qu’elles peuvent offrir un éclairage sur la manière dont les outils de la gravité quantique de Liouville peuvent être exploités pour l’étude du transport turbulent.
Mots-clés : Mouvement brownien de Liouville, Chaos multiplicatif gaussien, Intermittence, Modèle de Kraichnan, Turbulence
Thèse dirigée par : Bérengère Dubrulle (SPEC/SPHYNX), Alexei A. Mailybaev et Simon Thalabard.
Liouville Brownian motion, Gaussian multiplicative chaos, Intermittency, Kraichnan model, Turbulence
Abstract:
We investigate the statistical properties of Lagrangian dispersion in rough, turbulent-like random velocity fields, focusing on the interplay between small-scale intermittency and particle transport. Building upon the classical Kraichnan model, we introduce an intermittent (multifractal) extension in which the velocity field remains white-in-time and rough in space while exhibiting spatial intermittency, modeled via Gaussian multiplicative chaos theory. This construction provides a probabilistic framework that accounts for the intermittent fluctuations observed in turbulent flows, in the spirit of the Kolmogorov-Obukhov 1962 model for energy dissipation.
We focus the analysis on how intermittency impacts the different phases of the Lagrangian flow in the one-dimensional setting. The signature of intermittency in particle transport is first investigated numerically and then complemented with a theoretical analysis using tools from one-dimensional Feller processes. Our results indicate that intermittency has a smoothing effect on particle dispersion, with phase transitions governed by the most probable Hölder exponent of the velocity field, which characterizes typical velocity fluctuations within the Parisi-Frisch multifractal formalism. We show that particles tend to spend most of their time in regions of space exhibiting typical fluctuations, thus explaining the relevance of the most probable Hölder exponent.
In addition, we establish formal connections between our multifractal Kraichnan model and Liouville Brownian motion – the canonical diffusion process in Liouville quantum gravity. Although these connections are only formal, we believe that they can provide insights into how one can utilize tools from Liouville quantum gravity in the study of turbulent transport.
Keywords: Mouvement brownien de Liouville, Chaos multiplicatif gaussien, Intermittence, Modèle de Kraichnan, Turbulence
Dispersão Lagrangiana em Fluxos Aleatórios e Intermitentes
Abstract:
Investigamos as propriedades estatísticas da dispersão Lagrangiana em campos de velocidade aleatórios, irregulares, com características turbulentas, com foco na interação entre a intermitência em pequenas escalas e o transporte de partículas. Com base no modelo clássico de Kraichnan, introduzimos uma extensão intermitente (multifractal) na qual o campo de velocidade permanece branco no tempo e irregular no espaço, mas exibe intermitência espacial, sendo modelado por meio da teoria de caos multiplicativo Gaussiano. Essa construção fornece um arcabouço probabilístico que captura as flutuações intermitentes observadas em fluxos turbulentos, no espírito do modelo de Kolmogorov-Obukhov de 1962 para a dissipação de energia.
Focamos nossa análise no impacto da intermitência nas diferentes fases do fluxo Lagrangiano em um contexto unidimensional. A assinatura da intermitência no transporte de partículas é primeiramente investigada numericamente e, em seguida, complementada por uma análise teórica utilizando ferramentas da teoria de processos de Feller unidimensionais. Nossos resultados indicam que a intermitência exerce um efeito suavizante na dispersão de partículas, com transições de fase governadas pelo expoente de Hölder mais provável do campo de velocidade, o qual caracteriza as flutuações típicas de velocidade no formalismo multifractal de Parisi-Frisch. Mostramos que as partículas tendem a passar a maior parte do tempo em regiões do espaço que exibem flutuações típicas, o que explica a relevância do expoente mais provável.
Além disso, estabelecemos conexões formais entre nosso modelo multifractal de Kraichnan e o movimento Browniano de Liouville — o processo de difusão canônico na gravidade quântica de Liouville. Embora essas conexões sejam apenas formais, acreditamos que possam fornecer insights sobre como ferramentas da gravidade quântica de Liouville podem ser aplicadas ao estudo do transporte turbulento.
Keywords: Movimento Browniano de Liouville, Caos Multiplicativo Gaussiano, Intermitência, Modelo de Kraichnan, Turbulência.