Intermittency, singularity & reversibility on log-lattices-intermittence

Abstract:

In 2019, Campolina & Mailybeav developed a new framework, the Log-lattices allowing high resolution through the use of exponentially spaced modes in the Fourier space. Such construction recalls the well known shellmodels. Using this new framework, this thesis tackles the subject of intermittency, singularities and reversibility in turbulent flows.

We first focus on the ability of the system to reproduce intermittent features, such as bursts of energy dissipation, observed in real flows. A possible explanation to this phenomenon is the existence of complex singularities of the velocity fields which imaginary parts pilot the dissipation. By reaching the real axis (i.e a null imaginary part), they generate a burst of dissipation and can lead to blowup scenarios. Through the study of the existence of blowup in various scenarios (hyper, hypoviscous and classical flows) we investigate the existence of complex singularities in our model.

Introducing the notion of efficiency, we then show that it is possible to observe viscous blowups in the context of the Reversible Navier-Stokes equations, first introduced by Gallavotti in 1996. Using these modified equations, we study the existence of weak dissipative solutions. Finally, we study the statistical properties of the Reversible Navier-Stokes equations highlighting the existence of a second order phase transition and investigate the Gallavotti’s conjecture stating the equivalence of ensembles between Navier-Stokes equations and its reversible counterpart.

En 2019, Campolina & Mailybeav ont développé un nouveau cadre, les grilles logarithmiques permettant de réaliser des simulations à haute résolution grâce à l’utilisation de modes exponentiellement espacés dans l’espace de Fourier. Une telle construction rappelle les shellmodels bien connus. En utilisant ce nouveau cadre, cette thèse aborde le sujet de l’intermittence, des singularités et de la réversibilité dans les écoulements turbulents.

Nous nous intéressons tout d’abord à la capacité du système à reproduire des caractéristiques intermittentes, telles que des bursts de dissipation d’énergie, observées dans des écoulements réels. Une explication possible de ce phénomène est l’existence de singularités complexes des champs de vitesses dont les parties imaginaires pilotent la dissipation. En atteignant l’axe réel (i.e une partie imaginaire nulle), elles génèrent un burst de dissipation et pouvant conduire à des scénarios de blowup. A travers l’étude de l’existence de blowups dans différents scénarios (écoulements hyper, hypovisqueux et classiques), nous étudions l’existence de singularités complexes dans notre modèle.

En introduisant la notion d’efficacité, nous montrons qu’il est possible d’observer des blowups visqueux dans le contexte des équations de Navier-Stokes réversibles, introduites pour la première fois par Gallavotti en 1996. En utilisant ces équations modifiées, nous étudions l’existence d’une solution faible dissipative.

Enfin, nous étudions les propriétés statistiques des équations de Navier-Stokes réversibles mettant en évidence l’existence d’une transition de phase du second ordre et examinons la conjecture de Gallavotti concernant l’équivalence d’ensemble entre les équations de Navier-Stokes et leur homologue réversible.