From spectra to total energy : beyond the GW approximation designing effective interactions

Abstract:

The world around us is composed of interacting many-particle systems, making it essential to comprehend these systems in order to understand the nature of our reality. Throughout human history, much effort has been made to reach this goal, with consequences impacting the technological advancements that shape our modern lives. In this thesis, which is specialized in condensed matter physics, we attempt to understand the interacting electrons systems that lead to electronic properties. In particular our efforts are focused on ground state total energy (E0) calculations. The main obstacle, which is the huge many-body wave functions that can be calculated only for small number of electrons, is overcome by the current available theories such as Density Functional Theory (DFT) and Many-Body Perturbation Theory (MBPT). These theories express observables in terms of more compact quantities, which are the one-body density and one-body Green’s function (GF). However, the exact expressions and/or the density and GF themselves are often not known. One important example is the ground state total energy E0, whose expression is unknown in terms of the density. On the other hand, E0 can be written exactly in terms of the GF. The same holds for electron addition and removal spectral functions. However, the exact GF, that relies on the exact self-energy, is unknown and the need for approximations to the GF itself strongly impacts the quality of the results. Still, the Green’s functions framework benefits from the existence of powerful approximations. In particular, MBPT suggests a way to expand the self-energy in diagrams that carry physical meaning. For situations that show only weak to moderate interaction effects, MBPT is often considered to be a systematic way to proceed, although in practice renormalizations, such as screening of the Coulomb interaction, are needed. In particular, even the lowest order of an expansion of the self-energy in terms of the screened Coulomb interaction W, which is the widely used GW approximation, has been very successful for the calculation of the quasi-particle part of electron addition and removal spectra in finite and extended systems. However, GW suffers from some shortcomings, such as a self-screening error and violation of exact constraints. Moreover, its good performance is limited to some materials where the correlation strength lies in a weak to moderate regime, whereas the strongly correlated systems remain unreachable by GW. In this thesis, we propose three different ways to go beyond GW in order to improve the calculation of ground state total energies.

• The first method includes corrections in the self-energy by combining time-dependent DFT (TDDFT) with MBPT. With these corrections, the self-energy is still approximated. We, however, show that the exact exchange-correlation contribution to E0 can be obtained exactly using this approximate self-energy provided that the ingredients are combined in a consistent way.
• The second method is based on expanding the self-energy in terms of W. We investigated the convergence of MBPT and we explored which W is the best choice in this expansion.
• The third method is based on the use of exact constraints, which can be used to add corrections beyond GW at a negligible computational cost. Our findings are illustrated using the symmteric Hubbard dimer at quarter and half fillings (one and two electron system).

We provide a computer code for this project that will be available online at the end of the thesis.

Keywords: Man.y-Body Perturbation Theory, Total energy, Green’s function

Résumé :

Le monde qui nous entoure est composé de systèmes à nombreuses particules interagissantes, ce qui est essentiel pour comprendre la nature de notre réalité. Tout au long de l’histoire de l’humanité, de nombreux efforts ont été déployés pour atteindre cet objectif, avec des conséquences qui ont eu un impact sur les avancées technologiques qui façonnent notre vie moderne. Dans cette thèse, qui se spécialise dans la physique de la matière condensée, nous cherchons à comprendre les systèmes d’électrons interagissants à la base des propriétés électroniques. Nos efforts se concentrent en particulier sur le calcul de l’énergie totale de l’état fondamental (E0). Le principal obstacle, à savoir les énormes fonctions d’onde à plusieurs corps qui ne peuvent être calculées que pour un petit nombre d’électrons, est surmonté par les théories actuellement disponibles telles que la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT) et la théorie de la perturbation à plusieurs corps (MBPT). Ces théories expriment les observables en termes de quantités plus compactes, telles que la densité de charge et la fonction de Green à une particule (GF). Cependant, les expressions exactes et/ou la densité et la GF elles-mêmes ne sont souvent pas connues. Un exemple important est l’E0, dont l’expression est inconnue en termes de la densité. En revanche, E0 peut être écrit exactement en termes de la GF. Il en va de même pour les fonctions spectrales qui peuvent être mesurées en photoémission et photoémission inverse. Cependant, la GF exacte, qui dépend de la self-energie exacte, est inconnue et le besoin d’approximations à la GF elle-même a un impact significatif sur la qualité des résultats. Néanmoins, le cadre des fonctions de Green bénéficie de l’existence d’approximations puissantes. En particulier, la MBPT suggère une façon de développer la self-energie sous forme de diagrammes ayant une signification physique. Pour les situations qui présentent des effets d’interaction faibles à modérés, la MBPT est souvent considérée comme une méthode systématique à suivre, bien que dans la pratique, des renormalisations, telles que l’écrantage de l’interaction de Coulomb, soient nécessaires. En particulier, même le plus bas ordre d’une expansion de la self-energie en termes de l’interaction de Coulomb écrantée W, qui est l’approximation GW largement utilisée, a été très performant pour le calcul de la partie quasi-particule dans les fonctions spectrales dans des systèmes finis ou étendus. Cependant, l’approximation GW présente certaines lacunes, telles qu’une erreur d’auto-écrantage et une violation de contraintes exactes. De plus, sa bonne performance est limitée à certains matériaux où la force de corrélation se situe dans un régime faible à modéré, tandis que les systèmes fortement corrélés restent inaccessibles à l’approximation GW. Dans cette thèse, nous proposons trois méthodes différentes pour aller au-delà du GW afin d’améliorer le calcul de l’énergie totale de l’état fondamental.

• La première méthode comprend des corrections de la self-energie en combinant la DFT dépendante du temps (TDDFT) avec la MBPT. Avec ces corrections, la self-energie est toujours approximée. Cependant, nous montrons que la contribution d’échange-corrélation exacte à E0 peut être obtenue exactement en utilisant cette self-energie approximée à condition que les ingrédients soient combinés de manière cohérente.
• La deuxième méthode se base sur le développement de la self-energie en termes de W. Nous avons étudié la convergence de la MBPT et exploré quel W est le meilleur choix dans ce développement.
• La troisième méthode tient compte de l’utilisation de contraintes exactes, qui peuvent être utilisées pour ajouter des corrections au-delà de la GW à un coût informatique négligeable. Nos résultats sont illustrés en utilisant le dimère de Hubbard symétrique à un et deux électrons.

Nous fournissons un code informatique pour ce projet qui sera disponible en ligne à la fin de la thèse.

Mots-clés : Théorie de Perturbation à plusieurs corps, Energie totale, Fonction de Green.